Perspektiva matematike për të kuptuar ecurinë e një epidemie

Nga Erida Gjini, Instituto Gulbenkian de Ciencia, Portugal. Anëtare e Akademisë së të Rinjve dhe e Komisionit të Matematikë-Informatikës së Akademisë së Shkencave

Epidemia e SARS-CoV-2 është një nga sfidat më të mëdha që sistemet e kujdesit shëndetësor dhe shoqëritë në të gjithë botën kanë përballur ndonjëherë. Për të frenuar transmetimin, shumë vende kanë miratuar masa për distancimin shoqëror dhe kufizimet e udhëtimit. Vlerësimi i efektit të këtyre masave në secilin kontekst është i vështirë dhe kërkon modele matematikore të dinamikës së transmetimit. Parashikimet për ecurinë e ardhshme të epidemisë, si dhe për optimizimin e kontrollit në secilin kontekst, mbështeten fuqimisht në projeksione nga modelet dhe në integrimin e saktë të të dhënave në kohë reale teksa ato grumbullohen.

Është folur shumë për modelin dhe projeksionet nga Imperial College [1], por ato projeksione nuk janë bazuar në ecurinë reale t ë rasteve në vende të ndryshme dhe përvecse si një hipoteze fillestare, nuk mund të përdoren a priori në secilin kontekst kur masat jane vendosur . Në fakt, deri tani ka shumë artikuj shkencorë që me anë të modeleve të ngjashme por me specifika të tjera nga kontekste të ndryshme [2-6,10-11], përpiqen të bëjnë parashikime dhe interpretime më të sakta në kohë reale dhe duke u bazuar mbi të dhënat e vecoritë e secilit sistem.

R0- një nga celësat për të kuptuar dhe kontrolluar epideminë

Edhe pse është e vështirë që gjatë proceseve dinamike të pandemisë të njehsohen parametrat epidemiologjikë, me anë të modeleve matematike disa nga këto parametra kalkulohen në mënyrë indirekte. Për shembull, nivelet e infeksiozitetit per SARS-Covid 2 në Shqipëri, janë të diskutueshme, sic janë edhe në gjithë botën dhe vlerat e raportuara variojnë nga 2 -2.5 [2-3], por edhe 3-4.8 [9-10], deri dhe 5.7 në disa raporte të fundit [11]. Pra e panjohura e parë në Shqip ëri është R0, që ka të bëjë me transmetueshmerine. R0 njehsohet si me poshte:

??=???

ku c= numri i kontakteve i nje individi në njësi kohore, p= probabiliteti i transmetimit të infeksionit për kontakt, dhe D= kohëzgjatja e infeksionit në një bartës tipik.

Mesatarisht, cdo person i infektuar shkakton R0 të infektuar të tjerë, gjatë gjithë periudhës së tij të infeksionit. Vetem nëse R është më i madh se 1.

epidemia mund të përhapet. Ky eshte “basic reproduction number”, (numri

baze i riprodhimit) shume i rendesishem, i cili eshte nje parameter i panjohur dhe mund te ndryshoje nga konteksti ne kontekst. Mesatarisht eshte matur rreth 2.2-3, me probabilitet te larte 2.5 per Covid-19 ne literaturë. Dhe nga këtu vjen fakti qe kur R0=2.5, duhet te paktën 1-1/R0=1-1/2.5=60% e popullsisë e imunizuar që epidemia të mbarojë ose që infeksioni të mos përhapet më tej.

Vini re, që nëse R0=5, duhet të imunizohet të paktën (1-1/R0) 80% e popullsisë që infeksioni të mos përhapet. Pra nëpërmjet R0 lind dhe fenomeni i (herd immunity) “imunizimit të tufës”, për të cilin është folur shumë, dhe që ka si vlerë kritike, proporcionin pc të popullsisë:

?! = 1 − 1/?!.

Ky është dhe proporcioni kritik i një popullsie vulnerabël që duhet vaksinuar në rast se një vaksinë imunizuese ekziston (rezultat klasik i epidemiologjise).

Në matjen e R0 luan rol edhe variacioni nga individi në individ dhe probabiliteti. Mund të ketë individë që kanë shumë më tepër kontakte se mesatarja (të ashtuquajturit “superspreaders” si në rastin e SARS-COV1) dhe kjo mund të krijojë shpërndarje statistikore me shumë variancë në këtë parameter. Përsa i përket R0 në rastin e SARS-COV2, tek R0 i personave të importuar që kanë filluar përhapjen e Covid në Shqipëri, mund të kenë ndikuar rastësisht persona që kanë shumë kontakte ose kanë patur shume kontakte fill pas ardhjes se tyre në Shqiperi, duke cuar në inflacionin e këtij parametri.

Si mund të matet R0 nga studimi i rasteve?

Realiteti i transmetimit të një infeksioni në popullsi është proces shumë kompleks që zhvillohet në kohë dhe hapësirë dhe nën efektin bashkërendues të shume faktorëve demografikë dhe epidemiologjikë. Por këto procese mund të thjeshtohen dhe përfaqësohen në mënyrë me abstrakte nëpërmjet modeleve matematike. Duke ndërtuar një model matematik me ekuacione

SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) për Covid-19, unë kam studiuar të dhënat e deritanishme në Shqipëri [5]. Kjo shërben për të vlerësuar rastet e raportuara dhe viktimat, dhe për të bërë parashikime me parametrat e vlerësuar me metoda të statistikës inferenciale.

Katër parametrat kryesorë të modelit që varen nga të dhënat janë:

norma e transmetueshmërisë bazë pa filluar masat (që lidhet me R0),

numri fillestar i personave të ekspozuar E0,

koeficienti i efikasitetit të masave k dhe

raporti fatalitet-raste f (matur mbi rastet e konfirmuara).

Regresioni mbi të dhënat, bazohet në këtë model epidemiologjik me ekuacione. Disa parametra merren të mirëqenë në disa vlera të perafërta nga studimet e literaturës. Dhe disa parametra të tjerë kycë njehsohen nga të dhënat aktuale. Parametrat që merren të fiksuar nga literatura [3-8] kanë të bëjnë me:

Përqindjen e personave simptomatike (~50-60%)

Periudhën e inkubacionit (~4.2-6.5 ditë)

Kohëzgjatjen mesatare të një infeksioni (~6-10 ditë)

Gabimi llogaritet midis variablave të modelit në kohë dhe numrit të rasteve aktive dhe fataliteteve në kohë në kontekstin specifik (për shembull në Shqipëri):

????? = ????? − ?? ?ℎ???, dhe duke “kërkuar” në hapësirën numerike të të gjithë parametrave, gjenden vlerat optimale të parametrave të panjohur që e minimizojnë këtë gabim të modelit me të dhënat. Nëse përdoret inferencë probabilistike Bayesiane, mund të llogaritet dhe shpërndarja statistikore e këtyre parametrave (pasiguria rreth vlerës së tyre) dhe intervalet e kredibilitetit.

Ky lloj modelimi ofron një mjet për të parametrizuar dinamikën në kohë reale të rasteve Covid-19, dhe për të eksploruar efektin e kontrollit teksa shpaloset në çdo mjedis. Duke e zbatuar modelin mbi të dhënat e Covid-19 në Shqipëri, ku u vendosën masa drastike të kontrollit tashmë në ditën e rastit të parë të konfirmuar, arrihet në disa vlera për parametrat e panjohur.

Rezultatet e modelit mbi dinamikën e rasteve të raportuara 9-31 Mars 2020, janë paraqitur në një preprint postuar ne medrXiv [5]. Ndërsa regresioni mbi të dhënat e mëtejshme deri në 12 prill, ilustrohet në figurat më poshtë: ku vlerësohen parametrat dhe bëhen parashikime të përditësuaraTë dhënat shqiptare dhe rezultatet e modelit mbështesin një vlerë të lartë të R0 në Shqiperi, rreth 4 në fillim të epidemisë, në përputhje me një infeksiozitet shume të lartë të Covid-19, ku cdo individ i infektuar ka shkaktuar mesatarisht 4 infeksione të tjera. Kjo vlerë për Shqipërinë është afër vlerave të tjera, mbi 2.5, të njehsuara mbi dinamikën e hershme në Wuhan, në Kinë [10-11], apo dhe ne anijen Diamond Princess [9Përsa i përket efikasitetit të masave shtrënguese, modeli dhe të dhënat tregojnë një ulje të fortë dhe të shpejtë në më shumë se 40%, të transmetimit që javën e tretë të masave, dhe mbështesin një efekt progresiv në rritje të kontrollit, që con në uljen e R0 nën vlerën kritike 1, rreth 5 prillit.

Në kontekstin shqiptar, modeli dhe të dhënat përputhen mirë, duke parashikuar kulmin e rasteve aktive të konfirmuara rreth 5 Prill 2020, dhe me një maksimum rastesh aktive brenda 300, që është duke u verifikuar në ditët
në vazhdim. Për raportin fatalitet-raste ky model njehson një vlerë rreth 3-4% duke marrë si emërues numrin e rasteve të konfirmuara (simptomatike). Nëse si emërues merren dhe rastet asimptomatike (që modeli i supozon në vlerën 40%) atëherë ky raport i vdekshmërisë mbi rastet totale ulet deri ne 1-2%, vlera të përafërta me ato të vëzhguara në Itali, Spanjë, e në vende të tjera [7].

Ky model dhe variante më të avancuara të tij (për shembull duke shtuar strukturën moshore të popullsisë, shpërndarjen gjeografike, importimet e vazhdueshme eventuale të infeksionit) mund të përdoren për të kuptuar efektet sasiore të masave të ndryshme të kontrollit në kohë reale, dhe në vende të tjera, dhe për të informuar masat adaptive në varësi të dinamikës së infeksionit. Roli i matematikës në epidemiologji dhe shëndetin publik nuk ka qenë asnjëherë kaq i prekshëm dhe i qartë sa në sfidën përballë koronavirusit.

Cfarë ndodh nga lehtësimi i masave?

Modeli sugjeron se nëse kontrolli vazhdon me të njëjtin trend rritës, shpërthimi i Covid-19 në Shqipëri mund të pritet të shuhet plotësisht brenda 90 ditësh nga 9 Marsi, pra brenda 9 qershorit. Në fakt të dhënat deri tani tregojnë që R0 ka arritur vlerën e dëshirueshme nën 1 (përafërsisht 0.6 në 12 prill, ku mbizotëron shërimi mbi infektimet e reja).

Por nëse masat lehtësohen pikërisht tani? E rëndësishme është që lehtësimi I masave të jetë i tillë që ta mbajë R0 nën vlerën kritike 1 për javët dhe muajt në vazhdim, sa më shumë të jetë e mundur. Le te kujtojme se ?? = ???. Pra, numri i kontakteve mesatare (dhe rrjedhimisht kontaket me personat e infektuar) që ndodhin në popullsi duhet të mbahet i ulët. Kjo realizohet nëpërmjet distancimit social dhe orareve të reduktuara të punës (zvogelimi i c). Por nga ana tjetër, edhe kujdesi individual me maska dhe higjiene, që redukton probabilitetin e infeksionit p për cdo kontakt, apo izolimi i shpejtë dhe trajtimi efektiv të personave të infektuar që ulin periudhën e infeksiozitetit D,janë mjete kontrolli të rëndësishme që kontribuojnë në mbajtjen e R0 nën 1. Sipër cdo gjë tjetër, ideja se bashkimi bën fuqinë ka vlerë edhe në këtë rast.

Deri kur do të bashkëjetojmë me Covid-19? Akoma nuk mund t’i japim përgjigje kësaj pyetjeje. Ky infeksion është një sfidë e madhe për njerëzimin dhe për shkencën. Ka një interes të jashtëzakonshëm të komunitetit shkencor për të kuptuar biologjinë e këtij virusi dhe të infeksionit që ai shkakton, si dhe të gjetjes së medikamenteve efektive dhe vaksinave.

Tani për tani një vaksinë nuk ekziston, dhe e vetmja mënyrë mbrojtje është parandalimi. Ekspozimi i ngadaltë i një popullsie me virusin mund të cojë në ndërtimin e njëfarë imuniteti, por vlera sasiore e tij është e debatueshme, sidomos duke mos ditur se sa i qëndrueshëm është dhe ky imunitet i fituar tek të shëruarit. Për më tepër, dhe imuniteti i fituar nga kjo valë e parë të prekurish mund të mbetet në vlera shume larg imunitetit kritik të tufës që nevojitet për frenimin stabël të epidemisë (1-1/R0 pjese e popullsisë me imunizim). Deri në shpikjen e vaksinës apo ilaceve, na mbetet të mbrohemi në maksimumin e mundshëm, dhe të respektojmë rregullat e higjienës dhe masat që jepen nga autoritetet e shëndetit publik. E mira e gjithsecilit, sidomos e pjesës më vulnerabël të popullsisë (të sëmurët, të moshuarit, etj.) varet nga bashkëpunimi i sinqertë dhe i ndërgjegjshëm për të mirën tonë të përbashkët: shëndetin tonë kolektiv. Një cmim i nevojshëm për një përfitim të madh. Javët dhe muajt në vazhdim do të jenë vendimtarë.

Referenca:
[1] Ferguson, Neil, et al. “Report 9: Impact of non-pharmaceutical interventions (NPIs) to reduce COVID19 mortality and healthcare demand.” (2020).

[2] Kucharski AJ, Russell T, Diamond C, Liu Y, Edmunds J, Funk S, et al. Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study. medRxiv. 2020;.

[3] Li R, Pei S, Chen B, Song Y, Zhang T, Yang , et al. Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2). Science. 2020;.

[4] Riou J, Hauser A, Counotte MJ, Althaus CL. Adjusted age-speci_c case fatality ratio during the COVID-19 epidemic in Hubei, China, January and February 2020. medRxiv. 2020;.

[5] Gjini,E. Modeling Covid-19 dynamics for real-time estimates and projections: an application to Albanian data medrxiv 2020https://.medrxiv.org/content/10.1101/2020.03.20.20038141v2

[6] Bi Q, u Y, Mei S, Ye C, Zou X, Zhang Z, et al. Epidemiology and Transmission of COVID- 19 in Shenzhen China: Analysis of 391 cases and 1,286 of their close contacts. medRxiv. 2020;.

[7] ECDC. Novel coronavirus disease 2019 (COVID-19) pandemic: increased transmission in the EU/EEA and the UK {sixth update 12 March 2020.; 2020. Stockholm.

[8] Backer J, Klinkenberg D, allinga J. The incubation period of 2019-nCoV infections among travellers from uhan. medRxiv; 2020.

[9] Phylodynamic Analyses of outbreaks in China, Italy, ashington State (USA), and the Diamond Princess: Insights on the R0, the number of cases through time, and the time of epidemic origin http://virological.org/t/phylodynamic-analyses-of-outbreaks-in-china-italyashington-state-usa-and-the-diamond-princess/439

[10] Zhao S, Lin Q, Ran J, Musa SS, Yang G, ang , et al. Preliminary estimation of the basic reproduction number of novel coronavirus (2019-nCoV) in China, from 2019 to 2020: A datadriven analysis in the early phase of the outbreak. International Journal of Infectious Diseases. 2020;92:214{217.

[11] Sanche S, Lin YT, Xu C, Romero-Severson E, Hengartner N, Ke R. High contagiousness and rapid spread of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2. Emerg Infect Dis. 2020 Jul [date accessed April 12,2020]. https://doi.org/10.3201/eid2607.200282